相交线与平行线三大模型探究

相交线与平行线三大模型探究

陈允坚
一、引言
“相交线和平行线”作为初中几何基石内容，承载着培养学生空间概念、逻辑推理的使命。三大模型凝练该领域核心规律，是解锁复杂几何问题的关键钥匙，对深化几何认知、延展数学应用视野意义深远。
二、三大模型详解与应用实例
相交线与平行线三大模型

*知识点1    相交线
1.相交线
 两条直线只有一个公共点时，称这两条直线相交。
2.邻补角、对顶角                    
(1)邻补角互补：∠1+∠2=180°.                                 
(2)对顶角相等：∠1=∠3.   
3.同位角、内错角、同旁内角
(1)同位角：在截线同旁，被截两线同侧，如∠1和∠5是一对同位角。                   
(2)内错角：在截线两旁，被截两线之间，如∠3和∠5是一对内错角。
(3)同旁内角：在截线同旁，被截两线之间，如∠4和∠5是 一对同旁内角。
* 知 识 点 2 平行线的判定和性质
1.平行线
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
2.平行线的判定
(1)同位角相等，两直线平行，即若∠1=∠2,则l₁//l₂.
(2)内错角相等，两直线平行，即若∠2=∠3,则l₁//l₂.
(3)同旁内角互补，两直线平行，即若∠2+∠4=180°,则l₁//l₂.
(4)平行于同一条直线的两条直线互相平行.
(5)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.
3.平行线的性质
(1)两直线平行，同位角相等，即若l₁//l₂，则∠1=∠2.
(2)两直线平行，内错角相等，即若l₁//l₂,则∠2=∠3.
(3)两直线平行，同旁内角互补，即若l₁//l₂,则∠2+∠4=180°.    
模型1     猪蹄型
模型讲解：
                             

【结论1】若AB//CD,则∠BOC=∠B+∠C.
【证明】过点O 作EF//AB,如图：
∵AB//CD,
∴EF//CD,∴∠B=∠BOF,∠C=∠COF,∴∠BOF+∠COF=∠B+∠C,即∠BOC=∠B+∠C
【结论2】若∠BOC=∠B+∠C,则 AB//CD.
【证明】过点O 作EF//AB, 如图：                             
则∠B=∠BOF，
∵∠BOC=∠B+∠C,∠BOC=∠BOF+∠COF,
∴∠B+∠C=∠BO F+∠COF∴∠C=∠COF,∴EF//CD.又∵EF//AB,∴AB//CD.
 见猪蹄模型，最大角等于小角之和。                               
  
其他形状或具有隐藏的猪蹄模型：
 ∠B+∠F+∠D=∠E+∠G.
朝向左边的角度数之和等于朝向右边的角度数之和
朝左和等于朝右和。
典 例 1
如图，∠BCD=90°,AB//DE, 则∠α与∠β一定满足的等式是(   )。
A. ∠α+ ∠β=180°       B. ∠α+ ∠β=90°
C. ∠β=3∠α             D. ∠α-∠β=90°
【答案】D
【解析】如图所示，这里隐藏了一个猪蹄模型。
根据猪蹄模型的结论，可知∠1+∠β=∠BCD=90° .  
又∵∠1+∠α=180°,
∴∠1+∠β=180°-∠α+ ∠β=90°,∴∠α-∠β=90° .    
故 选D.
这道题可以利用猪蹄模型，也可以利用铅笔头模型，直接运用模型结论即可得到答案。
猪蹄模型是近几年较为常见的模型，但出现形式常以变形的形式出现，注意要有空间想象力，能看到不熟悉模型背后的熟悉模型。
模型二     铅笔头模型
模型讲解：

【结论1】如图所示，AB//CD,则∠B+∠BOC+∠C=360°.
【证明】如图，过点O作EF//AB.
∵AB//CD,
∴EF//AB//CD.∴∠B+∠BOE=180°,∠C+∠EOC=180°,
∴∠B+∠BOE+∠EOC+∠C=360°, ∴∠B+∠BOC+∠C=360°.
【结论2】如图所示，∠B+∠BOC+∠C=360°,则AB//CD.
【证明】如图，过点O作EF//AB,则∠B+∠BOE=180° .
∵∠B+∠BOC+∠C=360°,
∴∠C+∠EOC=180°,∴EF//CD.又∵EF//AB,∴AB//CD.
铅笔头模型，三个角之和为360°
铅笔头型中的拐点与角度和的关系：
图示
          
  
平行线之间的拐点数   
平行线间的角度和 180° 360° 540°
图示  
 
平行线之间的拐点数   
平行线间的角度和 720°  
典 例 1
如图,两直线AB,CD 平行,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= (    ).                                  
A.630°   B.720°    C.800°    D.900°
【答案】D
【解析】∵AB//CD,  且两平行线之间有4个拐点，
∴根据铅笔头模型的结论可知，                        
两平行线之间的角度和=180°×(n+1)=180°×(4+1),
即∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180°×5=900° .
故选 D.
在考试中，如果遇到铅笔头模型，可以直接运用结论得出答案。但如果忘记结论，也可以过拐点作平行线，用平行线的性质来解题。
模型三    锯齿型模型            
模型讲解：
【结论】如图所示，AB//EF,则∠B+∠D=∠C+∠E.
【证明】如图，过点C作 MN//AB,过点D作 PQ//AB.   
∵AB//EF,∴AB//MN//PQ//EF.                               
∴∠B=∠BCN,∠CDP=∠DCN,∠PDE=∠E,   
∴∠B+∠CDP+∠PDE=∠BCN+∠DCN+∠E,
∴∠B+∠CDE=∠BCD+∠E.        
锯齿模型的证明思路：过每个折点作这组平行线的平行线，形成若干相等的内错角。
锯齿模型的变换解题思路：