3.2.1双曲线及其标准方程

黄长铁

【学习主题】
3.2.1双曲线及其标准方程（人教A版，数学选择性必修第一册、高二年级、第三单元、第二节第一课时）
【课标要求】
通过类比椭圆的学习，了解双曲线的几何特征和理解双曲线的概念和标准方程。
【学习目标】
（1）经历从具体情境中抽象出双曲线的过程，掌握双曲线的定义、标准方程。
（2）了解双曲线的简单应用。
【学法建议】
1、本主题课是人教A版选择性必修第一册第三章《圆锥曲线》第二节《双曲线》第一课时《双曲线及其标准方程》。本主题的学习可以类比椭圆的研究过程。
2、本主题课的内容是在学生学习了椭圆及其标准方程，并通过方程研究了椭圆的几何性质的基础上，利用信息技术手段，抽象双曲线的定义，然后类比椭圆标准方程的推导过程，建立双曲线的标准方程。再利用方程研究双曲线的几何性质，并利用它们解决简单的实际问题。从知识的前后联系看，本单元是坐标法的进一步应用。
3、本主题课最重要、最根本的数学思想方法是坐标法。另外，在解决问题的过程中，数形结合、类比、特殊化与一般化、转化与化归也发挥着重要作用。
4、本主题课中学习按以下流程进行：课前准备概念引入探究活动1概念探究活动2探究活动3探究活动4目标检测课后检测。学习过程中主要是学生自主学习，合作交流，归纳总结。
5、本主题课后检测中的模仿练(作业)为合格标准，提升练和挑战练(作业)为较高要求，可根据需要选择完成。
6、本主题课的学习，有助于学生学会合乎逻辑地、有条理地、严谨精确地思考和解决问题，有助于发展学生数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算、直观想象等方面的素养。
【学习过程】
一、课前准备
知识准备1：椭圆的定义是什么，它的标准方程是怎样的？方程中a、b、c间的关系是什么？
知识准备2：在求椭圆的标准方程时，如何推导？
二、课中学习
（一）概念引入
前面我们介绍了圆锥曲线的形成，并在平面直角坐标系中研究了椭圆及其标准方程。本节课我们将学习第二种圆锥曲线——双曲线。双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线。如发电厂冷却塔的外形就是双曲线的一部分绕轴旋转所成的曲面。那么什么是双曲线呢？我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题。
思考1：既然平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆，那么一个自然的问题是：平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？
（二）探究活动1：借助信息技术手段，探究在直线l上取两个定点A、B,P是直线l上的动点．在平面内取两个定点F1F2，以F1为圆心，线段PA为半径作圆，再以F2为圆心，线段PB为半径作圆，探究点P在线段AB上运动时，两圆交点的轨迹；点P在线段AB外运动时，两圆交点的轨迹。
设计意图：通过强化双曲线概念的抽象和建立过程，提高学生思维的严谨性与语言表达能力；同时让学生获得焦点、焦距等概念.
（三）探究双曲线的标准方程
思考2：遵循解析几何研究的内在逻辑，了解双曲线的概念后，应建立双曲线的标准方程。你能类比求椭圆标准方程的方程，尝试建立双曲线的方程？
师生活动：通过生生讨论，明确如何建立适当的直角坐标系。观察双曲线发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，因此，我们取经过两焦点F1F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
追问1：对于方程
师生活动：学生尝试化简。需先去绝对值，化成

类比椭圆标准方程的化简过程，移项、平方，整理得

平方整理得

从简化、美化入手，继续优化方程。
追问2：讨论以上方程的变形是不是同解变形？
师生活动：明确方程与所给双曲线是等价的，是双曲线的方程，并且称为双曲线的标准方程。感悟方程蕴含的简洁美、对称美，感悟“数”与“形”内在的一致性。
设计意图：明确求曲线的方程的大致步骤，避免推导过程中思维的盲目性；引导学生学会建立适当的直角坐标系；以双曲线标准方程的推导为载体，引导学生掌握推导圆锥曲线方程的一般思路与方法；深化学生对曲线与方程的关系的理解。
思考3：类比焦点在y轴上的椭圆标准方程，焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？

（四）探究活动2
已知点A是圆O外一个定点，P为圆O上一个动点，线段AP的垂直平分线交OP所在直线于点Q，当点P在圆O上运动时，点Q的轨迹是什么？

思考：若定点A在圆O内呢？点Q的轨迹又是什么？
【设计意图】通过类比椭圆的轨迹形成，体会双曲线的轨迹形成，加深对双曲线定义的理解，同时感受到椭圆和双曲线的联系。
（五）探究活活动3(双曲线的定义)
已知双曲线的焦点 F1(-5, 0), F2(5, 0)，双曲线上一点P到焦点的距离差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程。
探究活活动4(双曲线的定义)
双曲线的两个焦点分别为，，焦距为8，是双曲线上的一点，且，求的值。
【变式1】若，其他条件不变，求的值；
【变式2】若，其他条件不变，求的值.
【设计意图】让学生体会到双曲线有左右两支，所以可能涉及到分类讨论思想，同时结合双曲线的图形理解问什么有时候有一解，有时候有2解，感受数形结合思想的渗透和双曲线定义的再认识。
探究活动5     方程表示什么曲线？
   【变式练习】已知方程表示的曲线为，若曲线为双曲线，实数的取值范围是_______________；
变式1：若曲线为椭圆，实数的取值范围是_______________；
变式2：若曲线为圆，实数的取值范围是_______________；
变式3：若曲线为焦点在轴上的双曲线，实数的取值范围是_______________.
【设计意图】通过对圆锥曲线中圆、椭圆、双曲线的辨别，体会圆锥曲线系的统一性和联系性，同时与引入的圆锥曲线截面相呼应，在帮助学生对其标准方程的理解和辨别的同时，帮助学生理解圆锥曲线系的统一性。
（六）归纳总结、布置作业
两个问题：双曲线是什么？双曲线的标准方程是什么？
    作业：教材121页，练习1，2，3，4.