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掷硬币、圆周率与沃利斯乘积


掷硬币、圆周率与沃利斯乘积
吴汉东

摘要:从研究掷硬币开始,探讨了掷硬币次数n与硬币正反面差(绝对值)的期望值的关系,在n趋于无穷大时, /n的极限为2/π,而且得到了导出沃利斯乘积公式的一个方法。
关键词:掷硬币;圆周率;沃利斯乘积
1、引言
掷硬币作为古老的随机试验,已为大家所熟悉,投掷硬币,出现正面、反面的概率均为0.5,在做试验时,随着试验次数n的增加,出现正反面的频率波动越来越小,逐渐稳定于0.5,也就是出现正反面的频率差趋于0,但同时,还有一个看似矛盾的现象,就是随着试验次数的增加,硬币正反面次数差的绝对值反而是增加的,当n趋于无穷大时,正反面差值的绝对值的期望值也是趋于无穷大的,也就是说,与  是同时成立的,因此猜想是比n低一阶无穷大,那么/n可能趋于一个常数。

2、通过理论计算找常数
首先利用电脑编程模拟掷硬币试验,得出这个常数为2/π,即2/π,当然这个结果须有严格的数学证明。投掷硬币n次,可能出现的事件总数为,其中出现m次(0≤m≤n)正面的事件的数量为,其正反面差为│n-2m│,显然=,设│n-2m│),理论上平均正反面差绝对值期望值=。因为=,∣n-2m∣=∣n-2(n-m)∣,且m≤n/2时,∣n-2m∣=n-2m,所以当n为奇数时,,当n为偶数时,
对于任意正整数n
     =│2n-1-2m│)
=2*(2n-1-2m))
=2*(2n-1)+(2n-3)+(2n-5)++*3+*1) 
       
 =│2n-2m│)
=2*(2n-2m))
=2*((2n)+(2n-2)+(2n-4)++*4+*2)
=2*((2n)++)(2n-2)+(+(2n-4)+ +(+)*2)
=2*(2*(2n-1)+2*(2n-3)+ 2*(2n-5)++2**3+2**1)
=2
故/=/,∴=

  =│2n+1-2m│)
=2*(2n+1-2m))
        =2*(2n+1)+(2n-1)+ (2n-3)+  +*3+*1)
=2*((2n+1)+(+)(2n-1)+(+)(2n-3)+  +(+)*3++)
        =2*(2*(2n)+2*(2n-2)+ 2*(2n-4)+ +2**4+2**2)+2*
        =2+2
等式两边同除以得:/=/+/
故=+/,∴>=
由上述的结果:=2、=2+2以及=2解得:
=2n、=(4n+2)、= n
故=、==
故=
令=,设数列{},{}中,==()/(2n-1),==()/(2n),数列{}是数列{}的奇数项子数列,数列{}是数列{}的偶数项子数列。
∵=,2n-1<2n,∴>
对数列{}, ==1,=
又=2n+1),=/=(2n+1)
=2n-1),==(2n)
故=(4-1)(4)1
∴数列{}单调递减。
对数列{},==1/2,=
=()/(2n+2)= ()/(2n+2)
=()/(2n)= ()/(2n)
=(1
∴数列{}单调递增。
∵=1≥>≥=0.5,∴数列{}、{}均单调有界,数列{}、{}均收敛。
设数列{}收敛于A,数列{}收敛于B,
则=2n-1)=A,=()/(2n)=B,又=
故A-B=((2n-1)2n)=0,∴A=B,
又数列{}除了数列{},{}中元素,再无其它元素,数列{}可看作由数列{}与数列{}合并而成的数列,故数列{}也收敛于同一极限,与数列{},{}极限相等。下面证明数列{}收敛于2/π,最简单的办法是应用沃利斯乘积公式,下式是沃利斯乘积的其中一个表达式:
沃利斯乘积公式:()() ==

在数列{}中,=1/2,= (
= ()()
=()()
∴=()() ==
在数列{}中,=1,=(4-1)(4)=()()
                        =()()
∴=()()=
综上所述,得出结论: /n=2/π
比较数列{}、{}、{}与沃利斯乘积公式,发现项等于沃利斯乘积公式前(2n-2)项积的倒数(n>1),项等于沃利斯乘积公式前(2n-1)项积的倒数,项等于沃利斯乘积公式前(n-1)项积的倒数(n>1)。由此可见,掷硬币也可以得到沃利斯乘积公式的表达式。

3、总结与推论
因为寻找的常数为2/π,得到可以通过做实验掷硬币求得圆周率的办法。又由=2n/  及=可求出所有已知投掷硬币次数n时的正反面差绝对值的期望值,当n很大时,不易计算,可由 /n=2/π,得到一个近似值= ,由于=,更为准确的近似公式为 ,式中n为偶数时取减号,n为奇数时取加号,n越大,误差越小,当n=10时,误差小于0.069%,当n=100时,误差小于6.3 %, 当n=1000时,误差小于6.3 %。

 

 

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