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对称性在积分中的应用

更新时间:2020/5/21 10:51:09 点击数:279

对称性在积分中的应用
杨子容
湖北第二师范学院  湖北武汉  430000

摘要积分计算是数学计算中一个非常重要的内容对于复杂的积分计算问题运用常见的解题方法已无法解决而如果巧妙地利用对称性就可以缩减计算量下面深入研究了二重积分第一型曲线积分中当积分区域关于坐标轴坐标面对称且被积函数有奇偶性时的几种积分计算公式并列举实例说明
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关键词对称性  奇偶性  坐标轴  积分 坐标面


1. 对称性在二重积分中的应用

定理1[1-2]设函数在有界闭区域上连续关于轴对称其中则有

关于轴对称时有类似结论.

1:计算其中是由直线所围成.

原式=由于关于轴对称.

因为故由公式(1)可得

故由公式(2)可得

所以.

除此之外对于积分变量可以交换顺序的题目根据具体的情况能够将各个变量前的系数化为一样以至达到简便过程的效果对于不能直接使用的题目也可以通过变换创造轮换对称性[3-4]

2. 对称性在第一型曲线积分中的应用

曲线积分研究的是定义在二维或三维曲线段上函数的积分[5]

定理2:设函数在平面曲线上连续那么若关于轴对称

证明关于对称其中所以

.

关于轴对称时也有类似结论.

2:计算其中是以原点为中心为半径的右半圆周.

原式=由于关于轴对称.因为故由公式(3)可得故由公式(4)可得所以.

定理3:设函数在空间光滑或分段光滑的曲线上连续那么若关于面对称其中则有

证明关于面对称其中所以

.

关于面对称时也类似结论.

3. 小结

本文研究了对于二重积分第一型曲线积分若积分区域是关于某个坐标轴对称或关于某个坐标面对称当被积函数具有奇偶性时则其积分值遵循偶倍奇零的性质

参考文献

[1]薛春荣,王芳.对称性在定积分及二重积分计算中的应用[J].科学技术与工程,2010,10(1):172-175.

[2]赵金兰.积分区域对称性在计算二重积分中的应用[J].山西煤炭管理干部学院学报,2015,28(3):157-158.

[3]朱玉.重积分计算中对称性的应用[J].高等数学研究,2019,22(2):17-18,21.

[4]徐立峰.对称性在重积分计算中的应用[J].高等数学研究,2013,16(2):37-39.

[5]华东师范大学数学系.数学分析(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2010

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